维数大于二时绝缘电导率问题解的最优梯度估计

我们研究了嵌入在 $\mathbb{R}^n$ 有界域中的夹杂物的绝缘电导率问题。当夹杂物之间的距离 $\varepsilon$ 趋近于 0 时，解的梯度可能会发生爆破。已知在维数 $n = 2$ 时，最优爆破率为 $\varepsilon^{-1/2}$ 量级。最近已证明，在维数 $n \ge 3$ 时，梯度的上界为 $\varepsilon^{-1/2 + \beta}$ 量级，其中 $\beta > 0$。另一方面，$\beta$ 的最优值尚未确定。在本文中，我们证明了当夹杂物为球体时，在维数 $n \ge 3$ 的情况下，$\beta$ 的最优值为 $[-(n-1)+\sqrt{(n-1)^2+4(n-2)}~]/4 \in (0,1/2)$。