双齐次理想（由双一次多项式生成）的Gröbner基：算法与复杂性

求解多齐次系统（作为实际应用中频繁出现的一类广泛的结构化代数系统）至关重要。实验表明，使用Gröbner基算法求解这些系统似乎比求解同次数的齐次系统更容易。然而，这一行为的原因尚不明确。本文聚焦于双线性系统（即所有方程均为双一次的双齐次系统）。我们的目标是为上述实验行为提供理论解释，并提出利用这些系统的多齐次结构来加速Gröbner基计算的新技术。贡献兼具理论与实际意义。首先，我们调整了经典的F5准则，以避免输入为一组双线性多项式时出现的归零约化。我们还证明了由一般双线性多项式生成的双齐次理想的Hilbert级数的显式形式，并给出了通用仿射双线性系统正则度的一个新上界。这为求解双线性系统带来了新的复杂性界。我们还提出了一种专用于多齐次系统的F5算法变体，该变体利用了此类输入上Macaulay矩阵的一个结构性质。实验结果表明，该变体比经典的齐次F5算法需要更少的时间和内存。