具有 $\mathbb{G}_m$-作用的 Gorenstein 奇点与全纯微分形式的模空间

给定一条光滑复代数曲线上的全纯微分形式，我们通过一个测试配置将其关联到具有 $\mathbb{G}_m$-作用的 Gorenstein 曲线奇点。该构造将具有预定零点阶数的全纯微分形式的分层分解为此类奇点的负grading的普遍定义空间。此外，它为这些奇点的边界中出现的奇异曲线提供了自然的描述。我们的做法具有诸多应用。我们分类具有 $\mathbb{G}_m$-作用的唯一 Gorenstein 奇点，对应于每个非变分的全纯微分形式的分层，并研究这些非变分分层能否通过加权射影空间进行紧化。此外，在经典 $ADE$ 奇点的基础上，我们证明了类型 $U_7$、$U_8$、$U_9$ 和 $S_{k}$ 的非完全交叉奇点的 $K(\pi,1)$-性质。我们还研究在 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 的对数最小模型计划中具有受限 $\alpha$-不变性的奇点，并利用它们来界定 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 中有效除子的斜率。最后，我们表明具有固定半群的次共形点的轨迹具有平凡的 tautological 环，并提供判定它们是否为仿射 Variable 的准则。