图的 Gorenstein 齐次子环

设 $G=(V,E)$ 为一个连通简单图,有 $n$ 个顶点,且 $S$ 为其齐次单项子环。我们证明若 $S$ 是正规且 Gorenstein 的,则 $G$ 是未混合的且覆盖数为 $\lceil\frac{n}{2}\rceil$,并且 $G$ 具有强 $\lceil\frac{n}{2}\rceil$-$\tau$-约化。此外,若 $n$ 为偶数,则我们证明 $G$ 是二部的。最后,若 $S$ 是正规的且 $G$ 是未混合的且其覆盖数为 $\lceil\frac{n}{2}\rceil$,我们给出 $S$ 为 Gorenstein 的充分条件。