含噪方向数据的拟合优度检验

我们考虑球面数据$X_i$被随机旋转$\varepsilon_i\in$ SO(3)加噪，使得仅观测到样本$Z_i=\varepsilon_iX_i$，$i=1,\dots, N$。我们定义了一个非参数检验程序，以区分$H_0:$“$X_i$的密度$f$是球面上的均匀密度$f_0$”和$H_1:$“$\|f-f_0\|_2^2\geq \C\psi_N$且$f$属于光滑度为$s$的索伯列夫空间”。对于光滑指数为$\nu$的噪声密度$f_\varepsilon$，我们证明自适应程序（即$s$未知）的分离速率不能快于$\psi_N^{ad}(s)=(N/\sqrt{\log\log(N)})^{-2s/(2s+2\nu+1)}$，并且我们提供了一个达到该速率的程序。我们还处理了超光滑噪声的情况。我们通过在SO(3)上实现各种噪声的检验程序并将其与其他程序进行比较，来阐明理论。提供了在天体物理学和古地磁学中实际数据的应用。