告别克里斯托费尔符号：一种在弯曲空间中求解物理问题的灵活高效方法

在弯曲空间中求解物理方程的传统方法，尤其是在流体力学和广义相对论中，严重依赖于克里斯托费尔符号的使用。这些符号提供了考虑微分几何中曲率所需的修正，但导致了显著的计算复杂性，特别是在数值模拟中。在本文中，我们提出了一种新颖的、简化方法，通过符号编程和先进的数值方法，避免了使用克里斯托费尔符号。我们的方法基于在欧几里得空间和弯曲坐标系之间定义符号映射，从而能够通过雅可比矩阵及其逆矩阵来变换空间和时间导数。这消除了为定义局部基和张量而使用克里斯托费尔符号的必要性，使得即使在弯曲空间中求解问题时，也能直接在笛卡尔坐标下应用物理定律。我们通过几个例子展示了该方法的鲁棒性和灵活性，包括柱坐标下纳维-斯托克斯方程的推导、弯曲圆柱管中复杂流动的建模以及粘弹性流体丝的断裂。这些例子说明了我们的方法如何在保持精度的同时简化数值公式。此外，我们还探讨了这些进展如何惠及自由表面流动问题，在这些问题中，将物理三维域映射到更简单的计算域对于求解移动边界问题至关重要。