好的可追踪码确实存在

可追踪码是由 Chor、Fiat 和 Naor 于 1994 年引入的组合对象，用于在叛徒追踪方案中追踪数字内容的来源。设 $F$ 为大小为 $q$ 的字母集，$n$ 为正整数。$t$-可追踪码是一种码 $\mathscr{C}\subseteq F^n$，可用于从至多 $t$ 个叛徒的合谋中抓获至少一名合谋者。已有研究表明，当 $q\le t$ 时，$t$-可追踪码不存在。当 $q>t^2$ 时，可由具有大最小距离的纠错码构造出具有正码率的 $t$-可追踪码。因此，Barg 和 Kabatiansky 于 2004 年提出，对于 $t+1\le q\le t^2$，是否存在具有正码率的 $t$-可追踪码。2010 年，Blackburn、Etzion 和 Ng 使用概率方法对 $q\ge t^2-\lceil t/2\rceil+1$ 的情况给出了肯定回答。然而，他们不知道如何将其概率方法用于回答其余 $q$ 值下的该问题。他们甚至怀疑可能存在可追踪码的“Plotkin 界”，从而禁止此类码的存在。在本文中，我们对 Barg-Kabatiansky 的问题给出了完整的（肯定的）回答。令人惊讶的是，我们的构造是确定性的。