$\theta$-表示的优良指标行为，I

设$Q$是一个代数群，$q=\Lie Q$，$V$是一个$Q$-模。$V$的指标是对偶空间$V^*$中$Q$-轨道的最小余维数。Vinberg给出了一个关于$V$的指标与$v\in V$的$Q_v$-模$V/q.v$的指标之间的一般不等式。如果对于所有$v\in V$，Vinberg不等式变为等式，则称对$(Q,V)$具有GIB。在本文中，我们关注$\theta$-表示的GIB性质，其中$\theta$是单李代数$g$的有限阶自同构。$m$阶自同构定义了$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$-分次$g=g_0+g_1+...+g_{m-1}$。如果$G_0$是$G^\theta$的单位分支，则它作用于$g_1$，该作用称为$\theta$-表示。我们分类了$gl_n$的内自同构和例外李代数的所有有限阶自同构，使得$(G_0,g_1)$具有GIB且$g_1$包含一个半单元素。