量子边界条件的全局理论与拓扑变化

我们分析了具有经典构型空间为带正则边界$\Gamma=\partial M$的紧致黎曼流形$M$的约束量子系统的边界条件的全局理论。协变Laplacian在$M$上的自伴延拓空间$\CM$被证明具有有趣的几何和拓扑性质，这些性质与$M$的不同拓扑闭包相关。在这个意义上，$M$的拓扑变化与$\CM$的非平凡结构相联系。空间$\CM$本身可以与边界数据希尔伯特空间$L^2(\Gamma,\C^N)$的酉群$\CU(L^2(\Gamma,\C^N))$等同。一个特别有趣的边界条件族，被识别为在Cayley变换下奇异的酉算子集合，$\CC_-\cap \CC_+$（Cayley流形），被证明在拓扑变化现象中扮演相关角色。Cayley变换的奇异性意味着，一些通常与边缘态相关的能级，当通过绝热变化使边界条件达到Cayley子流形$\CC_-$时，会获得无穷能量。在这个意义上，拓扑转变需要无限量的量子能量才能发生，尽管在空间$\CM$中拓扑转变的描述是光滑的。这一事实对弦理论中可能同时描述开弦和闭弦的情景具有重要影响。在椭圆自伴边界条件的特殊情况下，空间$\CC_-$可以与无限维Grassmannian的Lagrangian子流形等同。相应的Cayley流形$\CC_-$是$\CM$的Maslov类的对偶。