随机第三纵向流体的全局时域最优控制

本文针对一类随机非牛顿流体的速度跟踪控制问题进行了研究。具体而言,我们考虑在二维环面$\mathbb{T}^2$上定义的受无限维加性白噪声扰动的随机第三纵向流体方程。控制作用为分布式随机外部力。采用\emph{无限维Ornstein-Uhlenbeck过程},将随机系统转化为等价的 pathwise 确定性系统,从而在全局时间上证明了原随机系统的良定义性。该状态为具有样条在$\mathrm{L}^\infty(0,T;\mathbb{H}^3(\mathbb{T}^2))$中的随机过程且具有有限矩,可进行最优控制。具体地,我们建立了相应线性状态方程和伴随方程的解的存在唯一性。进一步地,我们推导了适当的状态方程稳定性结果,并验证了控制到状态映射的 G\^ateaux 导数恰等于线性状态方程的解。最后,我们建立了一阶最优性条件并证明了最优解的存在性。