对数拓扑递归的几何：伸缩方程、自由能与变分公式

拓扑递归最重要的应用之一涉及这样的谱曲线：定义谱曲线的函数 $(x,y)$ 允许具有对数奇点。例如，计算环面 Calabi--Yau 三流形 Gromov--Witten 不变量的 Seiberg-Witten 曲线和镜像曲线即属此例。最近引入的拓扑递归扩展，即所谓的对数拓扑递归，在这些谱曲线的某些极限下表现出正确的行为。在本文中，我们在对数拓扑递归的背景下导出了伸缩方程以及变分公式，并在标准拓扑递归已知失效的情形下给出了自由能的定义。我们给出了一些例子，其中自由能的新定义直接（无需任何计算）重现了 4d $\mathcal{N}=2$ 纯超对称规范理论的 Nekrasov--Shatashvili 配分函数的全部微扰部分，以及带状几何镜像曲线的全亏格自由能，特别包括拓扑顶点和 resolved conifold。