具有有限体积商空间的复有界域的几何

我们首先证明，对于一个具有在 Kähler-Einstein 测度意义下有限体积流形商的有界伪凸域，该域的自同构群的单位连通分支是半单且无紧致因子的。这部分回答了 [Fra95] 中的一个开放问题。随后我们将此结果应用于不同情形以解决若干开放问题，例如：（1）我们证明 $\mathbb{C}^2$ 中 Griffiths 域 [Gri71] 的自同构群是离散的。这完整回答了一个四十年前提出的开放问题。（2）我们证明，对于一个具有有限体积流形商 $M$ 的可缩 HHR/USq 复流形 $D$，若 $D$ 含有一参数全纯自同构群且 $M$ 的基本群不可约，则 $D$ 双全纯于一个有界对称域。该定理可视为 Nadel-Frankel 对 Kahzdan 猜想解的有限体积版本，该问题悬而未决已多年。（3）我们证明，对于边界 $C^2$ 光滑的 $\mathbb{C}^n$ 中有界凸域 $D$，若 $D$ 具有不可约基本群的有限体积流形商，则 $D$ 双全纯于 $\mathbb{C}^n$ 中的单位球，这部分解决了一个 Yau 的旧猜想。对于上述（2）和（3），若复维数等于 $2$，将给出更精细的结果。