充分/偏向集合的几何结构

偏向集合(lopsided sets)由 Jim Lawrence 于1983年提出，旨在研究编码凸集 K 与 ${\mathbb R}^E$ 各象限相交图样的子集。偏向集合被多个作者独立重新发现，其中包括 Andreas Dress 在1995年，他称其为“充分集(ample sets)”。Dress 将充分集定义为满足特定组合不等式等式的集合族，该不等式对所有集合族均成立。在先前的文章中，我们以多种组合和图论方式 characterization 了充分集。本文研究充分集的几何实现作为立方体(cubihedra)，由此得到若干新表征。其中一种表征表明，赋予内在 ${\ell_1}$ 度量的立方体，恰为 ${\ell_1}$ 空间的等距子空间(我们称为弱凸集)。我们亦将立方体充分集各脸的重心映射视为由 $\{ \pm 1, 0\}$ 符号向量构成的集合，类比于由协割器和 cocircuits 表征有向单体的方法。此外，我们 characterize 了对应于充分集所有脸和所有最大脸的 $\{ \pm 1, 0\}$ 符号向量集合。进一步地，我们证明任何充分集 $\covectors\subseteq \{ -1,+1\}^E$ 都可实现为弱凸集 K 与 ${\mathbb R}^E$ 各象限相交图样。上述论述彰显了充分集概念在立方复合体语境下具有高度的自然性。