短稀疏反卷积中的几何与对称性

我们研究从短信号 $\mathbf a_0$ 与稀疏信号 $\mathbf x_0$ 的卷积中恢复二者的 $\textit{短稀疏（SaS）反卷积}$ 问题。我们提出一种基于非凸优化的方法，该方法在特定条件下可恢复目标短信号与稀疏信号，直至该模型固有的带符号平移对称性。此对称性在塑造反卷积的优化景观中起着核心作用。我们给出一种 $\textit{区域分析}$，在子空间并集上从几何角度刻画该景观。当长度为 $p_0$ 的短信号 $\mathbf a_0$ 具有平移相干性 $\mu$，且 $\mathbf x_0$ 遵循稀疏率为 $\theta \in \Bigl[\frac{c_1}{p_0}, \frac{c_2}{p_0\sqrt\mu + \sqrt{p_0}}\Bigr]\cdot\frac{1}{\log^2p_0}$ 的随机稀疏模型时，我们的几何刻画成立。基于该几何，我们给出一种以高概率成功求解 SaS 反卷积的可证明方法。