具 O(N) 对称性的变分问题由对称性给出的几何不同解

对于具有 $O(N)$ 对称性的变分问题，先前文章已借助群论方法证明了若干几何不同解的存在性。其做法巧妙选取一族子群 $H_i \subset O(N)$，使得相应函数空间中作用的固定点子空间 $E^{H_i} \subset E$ 线性无关，随后将问题限制于每个 $E^{H_i}$ 上并运用 Palais 对称性原理。本文给出该方法的详尽阐释，揭示了此类子群的等价类、$\mathbb{R}^N$ 中的偏正交旗以及数 $N$ 的无序分拆之间的对应关系。通过证明关于不同群类不变的函数空间线性无关，我们证得以此方式获得的几何不同解序列的数量随 $N$ 呈指数增长，而与早期论文中的对数及线性增长形成对比。