到曲线轨道群的诫 mapping 的几何可实现性

给定紧 K"ahler 流形 $U$ 的一个连通稠密 Zariski 开放集，我们聚焦于从 $\pi_1(U)$ 的性质出发，是否存在从 $U$ 到平滑复准射数曲线的满射鲁华诺映射 ${F:U\to C}$。已知，如果存在这样的 $F$，则存在一个有限生成正规子群 $K\trianglelefteq\pi_1(U)$，使得 $\pi_1(U)/K$ 同构于曲线轨道群 $G$（即平滑复准射数曲线上带轨道结构的轨道基本群）。本文针对 $G$ 的轨道欧拉特征数为负的情况，研究该命题的逆问题，找到（唯一的）满射鲁华诺映射 $F:U\to C$，该映射在（轨道）基本群层面实现商 $\pi_1(U)\twoheadrightarrow \pi_1(U)/K\cong G$。我们还证明了该定理的尖锐性，即特征数非负的任何曲线轨道群均无法实现此类映射。此外，我们将运用主要定理来回答 Serre 的问题：哪些平滑准射数曲线的轨道基本群可实现为 $\mathbb{P}^2$ 中曲线补集的基本群。