有理函数值集中的等比数列

给定 $a, Q\in\Q$,考虑以 $a$ 为第 0 项、公比为 $Q$ 的等比数列各项构成的集合 $\cal{G}(a, Q)=\{aQ^{i}:\;i\in\N\}$。设 $f\in\Q(x, y)$,$\cal{V}_{f}$ 为 $f$ 的有限值集。我们研究是否存在 $a, Q\in\Q$ 使得 $\cal{G}(a, Q)\subset\cal{V}_{f}$。本文第一部分描述了几类使该问题有肯定解的有理函数。特别地,若 $f(x,y)=\frac{f_{1}(x,y)}{f_{2}(x,y)}$,其中 $f_{1}, f_{2}\in\Z[x,y]$ 是次数分别为 $d_{1}, d_{2}$ 的齐次型且 $|d_{1}-d_{2}|=1$,我们证明 $\cal{G}(a, Q)\subset \cal{V}_{f}$ 当且仅当存在 $u, v\in\Q$ 使得 $a=f(u, v)$。在第二部分即实验部分,我们针对有理函数 $f(x, y)=(y^2-x^3)/x$ 研究上述问题。我们将该问题与某些椭圆曲线上有理点的存在性相联系,并给出有趣的数值观察,由此提出若干问题与猜想。