实与复一维动力学中通过前像树与跨越集的几何压力

我们考虑 $f:\hat I\to \R$ 为一个 $C^3$（或具有有界畸变的 $C^2$）实值多峰映射，具有非平坦临界点，定义于 $\hat I$（闭区间之并），及其到极大前向不变子集 $K\subset I$ 的限制。我们假设 $f|_K$ 是拓扑传递的。我们称此设置为（广义多峰）实情形。我们还考虑 $f:\C\to \C$ 为黎曼球上的有理映射及其到 $K=J(f)$（Julia集，复情形）的限制。我们考虑拓扑压力 $P_{\spanning}(t)$ 对于势函数 $\varphi_t=-t\log |f'|$（$t>0$）以及 $f$ 的迭代，以标准方式使用 $(n,\e)$-spanning sets 定义。尽管在 $f$ 的临界点处 $\phi_t=\infty$，该定义有意义（不同于使用 $(n,\e)$-separated sets 的标准定义），并且我们证明 $P_{\spanning}(t)$ 等于其他压力量，对于此势函数称为{\it geometric pressure}，在实情形下于温和附加假设下成立，在复情形下前提是至多一个临界点的前向轨迹在 $J(f)$ 中累积。证明 $P_{\spanning}(t)$ 对一般有理映射是有限的，但在实情形中可能为无限。我们还证明实情形下的几何树压力对于以所有“安全”点为根的子树相同，特别是在除Hausdorff维数为0的集合外的所有点处。