渐近局部欧氏Kähler流形上的测地线方程

我们在渐近局部欧氏（ALE）Kähler流形的设定下求解Kähler度量空间中的测地线方程，并证明了解的全局$\mathcal{C}^{1,1}$正则性。随后，我们将测地线方程的解与标量平坦ALE度量的唯一性联系起来。为此，我们研究了$\varepsilon$-测地线在空间无穷远处的渐近行为。在参考ALE Kähler度量的Ricci曲率为非正的假设下，Mabuchi $K$-能量沿$\varepsilon$-测地线具有凸性。然而，我们也将证明，在$\mathbb{C}\mathbb{P}^{n-1}$上的线丛$\mathcal{O}(-k)$（$n \geq 2$且$k \neq n$）上，不存在具有非正（或非负）Ricci曲率的ALE Kähler度量。