瓶颈问题的推广

给定一对随机变量 $(X,Y)\sim P_{XY}$ 和两个凸函数 $f_1$ 与 $f_2$，我们引入两个瓶颈泛函，作为二维凸集的下边界和上边界，该凸集由所有满足马尔可夫条件 $W \to X \to Y$ 的离散随机变量 $W$ 所对应的点对 $\left(I_{f_1}(W; X), I_{f_2}(W; Y)\right)$ 组成，其中 $I_f$ 表示 $f$-信息。应用 Witsenhausen 和 Wyner 的方法，我们给出了针对 $f_1$、$f_2$ 以及离散 $P_{XY}$ 计算该集合边界的算法。在二进制对称情形下，当 (i) $f_1(t)=f_2(t)=t\log t$，(ii) $f_1(t)=f_2(t)=t^2-1$，以及 (iii) $f_1$ 和 $f_2$ 均为 $\ell^\beta$ 范数函数且 $\beta \geq 2$ 时，我们完整刻画了该集合。进而我们论证：(i) 中的上、下边界分别对应 Gerber 太太引理及其逆引理（我们称之为 Gerber 先生引理）；(ii) 中对应信息瓶颈与隐私漏斗的估计理论变体；(iii) 中对应 Arimoto 信息瓶颈与隐私漏斗。