广义 Zykov 定理

对于简单图 $G$，设 $n$ 为其顶点数，$N(G,K_t)$ 表示 $G$ 中 $K_t$ 的副本数。Zykov 定理 (1949) 断言：对于任意 $K_{r+1}$-自由图且 $t \ge 2$，$$N(G,K_t) \le {r \choose t}\left(\frac{n}{r}\right)^t$$ 我们在一个基于顶点的局部化框架内推广了 Zykov 上界。对于每个顶点 $v \in V(G)$，设 $c(v)$ 表示包含 $v$ 的最大团的阶数。本文证明：$$N(G,K_t) \le n^{t-1} \sum_{v \in V(G)} \frac{1}{c(v)^t} {c(v) \choose t}$$ 我们进一步证明等号成立当且仅当 $G$ 是正则完全多部图。\\newline 注意，若施加条件 $G$ 为 $K_{r+1}$-自由图，则对所有 $v \in V(G)$ 有 $c(v) \leq r$。因此，对所有 $v \in V(G)$ 取 $c(v) = r$，即可恢复 Zykov 上界。