二项式复傅里叶级数的广义海涅恒等式

本文推广了海因里希·爱德华·海涅在其著作《球函数手册：理论与应用》（1881）中首次给出的一个恒等式，该恒等式给出了 $1/[z-\cos\psi]^{1/2}$（其中 $z,\psi\in\R$，$z>1$）的傅里叶级数，其系数用阶数为奇半整数、级数为零的第二类连带勒让德函数表示。本文将该恒等式推广为 $1/[z-\cos\psi]^\mu$（其中 $z,\mu\in\C$，$|z|>1$）的傅里叶级数，展开式的系数用阶数为 $\frac12-\mu$ 的同类函数表示。我们还能够计算第二类连带勒让德函数的某些闭式表达式。