广义Gregory求积法，包括中点法则的端点修正权重
历史与综述
2025-12-19 v1
摘要
本文推导了一类数值求积法则，其节点等距分布，除序列两端少数几个点外，其余权重均为单位权重，并对这些单位权重添加了“修正”（不使用关于被积函数的任何进一步信息）。如果修正序列重叠，其效果是可加的。推导中的一个基本参数（“alpha”）是从积分区间端点到第一个节点的距离，以步长为单位向内测量。将alpha设为1/2可得到一组修正的复合中点法则。将alpha设为0可得到Gregory的闭型Newton-Cotes类法则，包括（在充分重叠的情况下）标准的闭型Newton-Cotes法则（梯形法则、“1/3 Simpson法则”、“3/8 Simpson法则”、“Boole法则”等）。将alpha设为1可得到开型N-C类法则，同样包括标准法则。负的alpha意味着在积分区间外对被积函数进行采样；适当选择的负值可产生梯形法则和中点法则的中心差分端点修正。甚至可以在两端使用不同的alpha值，从而得到Adams-Bashforth和Adams-Moulton权重等。因此，本文的标题本可以是“等距求积法则的统一推导”。
引用
@article{arxiv.2512.15806,
title = {Generalized Gregorian quadrature, including end-corrected weights for the midpoint rule},
author = {Gavin R. Putland},
journal= {arXiv preprint arXiv:2512.15806},
year = {2025}
}
备注
17 pages (5.5in x 210mm), 16 references