广义存在完备及其正则与正合完备

本文旨在应用关于合取 doctrine 的广义存在完备（涉及基范畴的一类态射 $\Lambda$）这一工具，深化对存在初等 Lawvere doctrine 的正则与正合完备的研究。在给出广义存在完备的刻画后，我们观察到具有有限极限的范畴 $\mathcal{C}$ 的子对象 doctrine $\mathrm{Sub}_{C}$ 与弱子对象 doctrine $\Psi_{\mathcal{C}}$ 都是常真 doctrine 的广义存在完备，前者沿 $\mathcal{C}$ 的所有单态射类，后者沿 $\mathcal{C}$ 的所有态射。我们随后将合取 doctrine 沿其基的所有态射的广义完备称为完全存在完备。由此我们立即推得：有限极限范畴的正则完备与正合完备都是完全存在 doctrine 的正则与正合完备，因为已知有限极限范畴 $\mathcal{D}$ 的正则完备 $(\mathcal{D})_{ reg / lex}$ 与正合完备 $(\mathcal{D})_{ex / lex}$ 分别是其弱子对象 doctrine $\Psi_{\mathcal{D}}$ 的正则完备 $\mathrm{Reg}(\Psi_{\mathcal{D}})$ 与正合完备 $\mathcal{T}_{\Psi_{\mathcal{D}}}$（作为 tripos-to-topos 构造的实例）。此处我们证明，成为泛完全存在完备这一条件也足以产生等价于有限极限范畴的正则/正合完备的正则/正合完备。进而，我们给出更专门的刻画，由此导出已知结果以及完全存在完备的正合完备的显著例子，包括所有可实现 topos 与超相干局部 topos。