完美闭包 $R^\infty$ 中的广义深度与伴随素理想

对于特征为 $p > 0$ 的约化 Noether 环 $R$，本文讨论其一种称为完美闭包 $R^\infty$ 的扩张。该扩张包含 $R$ 中所有元素的 $p^e$ 次根，且通常非 Noether。我们首先定义非 Noether 环上模的伴随素理想的广义概念。随后对任意 $R$-模 $M$，我们建立了当 $e \in \mathbb{N}$ 变化时，$(R^\infty \otimes_R M)/N$ 在 $R^\infty$ 上的某些广义素理想与 $F^e(M)/N_e$ 的伴随素理想之并之间的对应。此处 $F$ 指 Frobenius 函子，文中我们定义了一族随 $e$ 变化的子模序列 $\lbrace N_e \rbrace \subseteq \lbrace F^e(M) \rbrace$，且满足 $\underrightarrow{\lim} \ N_e = N$。在进一步假设 $M$ 有限生成且 $(R,\mathfrak{m})$ 为 $F$-纯局部环下，我们证明 depth$_R(F^e(M))$ 对 $e \gg 0$ 为常数，并称此值为稳定深度，或 s depth$_R(M)$。最后，我们转向 $R^\infty \otimes_R M$ 在 $R^\infty$ 上深度的非 Noether 度量，它们同样得到推广。其中两个度量为 k 深度与 c 深度，我们证明 k depth$_{R^\infty} (R^\infty \otimes_R M) =$ s depth$_R (M) \geq$ c depth$_{R^\infty} (R^\infty \otimes_R M)$，而在某些假设下三者相等。