Banach 值过程的广义协变差与扩展 Fukushima 分解：在 Dirichlet 过程窗口中的应用

本文研究一类具有有限二次变差的 Banach 值过程。本文引入的概念推广了 Métivier 和 Pellaumail 提出的经典概念，后者限制性较强。我们利用 $\chi$-协变差的概念，它是取值于两个 Banach 空间 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ 的过程的广义协变差。$\chi$ 指 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ 的射影张量积的对偶空间的一个合适子空间。我们研究了对各类具有 $\chi$-二次变差的随机过程进行 $C^{1}$ 型变换及其相关性质。若 $\X^1$ 和 $\X^2$ 具有 $\chi$-协变差，且 $F^i: B_i \rightarrow \R$, $i = 1, 2$ 是 $C^1$ 类函数并满足某些附加假设，则实值过程 $F^1(\X^1)$ 和 $F^2(\X^2)$ 的协变差存在。我们将对所谓的窗口过程进行详细分析。设 $X$ 为实值连续过程；由 $X_t(y) = X_{t+y}$（其中 $y \in [-\tau,0]$）定义的 $C([-\tau,0])$-值过程 $X(\cdot)$ 称为窗口过程。我们特别关注与 Dirichlet 过程和弱 Dirichlet 过程相关的窗口过程的变换。事实上，我们旨在推广对 $B=\R$ 成立的下述性质：若 $\X=X$ 是实值 Dirichlet 过程且 $F:B \rightarrow \R$ 是 $C^{1}(B)$ 类函数，则 $F(\X)$ 仍是 Dirichlet 过程；若 $\X=X$ 是具有有限二次变差的弱 Dirichlet 过程，且 $F: C^{0,1}([0,T]\times B)$ 是 $C^{0,1}$ 类函数，则 $[ F(t, \X_t) ]$ 是弱 Dirichlet 过程。我们给出了当 $B=C([-\tau,0])$ 且 $\X=X(\cdot)$ 时的相应结果。这将构成（弱）Dirichlet 过程窗口泛函的一个重要 Fukushima 分解。作为应用，我们给出了一种表示路径依赖随机变量的新技术。