Fano 和 Non-Fano Index Coding 实例的推广

Matroid 理论与索引编码和网络编码问题密切相关。事实上，线性索引编码和网络编码速率对场特性的依赖已通过两个著名的 matroid 实例——即 Fano 和 non-Fano matroid——得到证明。这建立了线性编码在索引编码和网络编码中的不足性——这两者都是该领域的基本定理之一。虽然 Fano matroid 仅可在特征为 2 的场中线性表示，但 non-Fano 实例仅可在特征为奇数值的场中线性表示。对于具有任意特征 $p$ 的场，Fano 和 non-Fano matroid 被扩展为新的 matroid 类，其线性表示依赖于特征为 $p$ 的场。然而，这些 matroid 在网络编码和索引编码领域尚未得到广泛关注和引用。本文首先以更结构化的方式重新介绍这些 matroid。随后，我们提供一种完全独立的替代性证明，其主要优势在于仅使用矩阵操作，而不使用数论和 matroid 理论中的复杂概念。在这种新证明中，证明了 $p$-Fano matroid 实例仅可在特征为 $p$ 的场中线性表示，而 $p$-non-Fano 实例可在除特征为 $p$ 的场之外的任何场中表示。最后，根据 $p$-Fano 和 $p$-non-Fano matroid 实例的属性，我们分别描述了两个新的索引编码实例类别，分别称为 $p$-Fano 和 $p$-non-Fano 索引编码，每个类别的大小为 $p^2 + 4p + 3$。