特征为三的域上线性索引编码的最优性研究
信息论
2022-05-03 v2 math.IT
摘要
已知线性编码在实现一般索引编码问题最优速率上的不足根源于其速率对域大小的依赖。然而，这种依赖仅通过两个著名的拟阵实例，即法诺拟阵与非法诺拟阵来描述，这反过来将其范围限制为仅特征为二的域。本文将此范围拓展，以展示线性索引编码速率对特征为三的域的依赖。通过构造两个大小为 29 的索引编码实例，我们证明：对于第一个实例，线性编码仅在特征为三的域上最优；对于第二个实例，在任意特征为三的域上的线性编码都不可能最优。随后，将第二个实例的一个变体设计为大小为 58 的第三个索引编码实例。对于该实例，我们证明尽管在任意特征为三的域上的线性编码无法最优，但存在特征为三的域上的非线性码可达到其最优速率。以两种特定方式（称为无向连接与双向连接）连接第一与第三个索引编码实例，将得到大小为 87 与 91 的两个新索引编码实例，其线性编码被非线性码超越。本文的另一主要贡献是将第一与第二个大小均为 29 的索引编码实例在线性编码空间上的关键约束，化简为基集大小为 9 的拟阵实例，其线性可表示性依赖于特征为三的域。本文通过使用这两个相对较小的拟阵实例所提供的证明与讨论，将阐明导致线性编码对一般索引编码问题不充分的根本原因。
引用
@article{arxiv.2201.10057,
title = {On the Optimality of Linear Index Coding over the Fields with Characteristic Three},
author = {Arman Sharififar and Parastoo Sadeghi and Neda Aboutorab},
journal= {arXiv preprint arXiv:2201.10057},
year = {2022}
}