基于机器学习求解高维薛定谔特征值问题的泛化误差估计

我们提出一种用于计算薛定谔算子在 $d$ 维超立方体上特征值和特征函数的机器学习方法。采用截断函数技术构建满足齐次边界条件的试函数。该方法消除了标准边界惩罚方法引入的误差，提高了方法的整体准确性，如典型数值示例所示。在假设特征函数属于谱 Barron 空间的前提下，我们推导出该方法泛化误差的显式收敛率，避免维数诅咒。我们通过证明当势函数属于合适的谱 Barron 空间时，特征函数的一种新的正则性偏移结果来验证该假设。此外，我们将泛化误差界推广到标准化惩罚方法，该方法在实际中广泛使用。