Ingham-Siegel 与 Fisher-Hartwig 型的广义酉群积分

我们推广了在有限 $N$ 且包含固定外部矩阵情形下，关于酉群 $U(N)$ 上相对于 Haar 测度的著名 Ingham-Siegel 与 Fisher-Hartwig 型积分。当仅依赖于酉矩阵的特征值时，它们可联系于具有跳跃奇异性的 Toeplitz 行列式。在引入固定的确定性矩阵作为外源后，这些积分不再能借助 Andr\'ei\'ef 积分公式求解。借助 Balantekin 提出的特征标展开，我们导出了含 Kummer 合流超几何函数与 Gauss 超几何函数的显式行列式公式。它们仅依赖于确定性矩阵的特征值，并且是跳跃奇异性参数的解析函数。此外，我们提出并以相同方式求解了同类型的酉双矩阵积分。当令部分确定性矩阵随机并对其进行积分时，我们得到了以 Pfaffian 行列式表示的类似公式。这让人联想到 Kanazawa 与 Kieburg 最近发现的一个酉群积分。