$\mathbb{R}^3$ 中有边界面上的各向异性电导率的Gel'fand-Calderón反问题

设 $X$ 是 $\real^3$ 中具有光滑边界的光滑有边界面，$\hat \sigma$ 是 $X$ 上的光滑各向异性电导率。若 $X$ 的亏格已知，则从 $\partial X$ 上的Dirichlet-to-Neumann算子 $\Lambda_{\hat \sigma}$ 出发，我们给出一个显式过程来寻找唯一的黎曼曲面 $Y$（相差一个双全纯映射）、$Y$ 上的各向同性电导率 $\sigma$ 以及将 $\hat \sigma$ 变换为 $\sigma$ 的拟共形微分同胚 $F: X \to Y$ 的边界值。作为推论，我们得到以下唯一性结果：若 $\sigma_1, \sigma_2$ 是 $X$ 上的两个光滑各向异性电导率，且 $\Lambda_{\sigma_1}= \Lambda_{\sigma_2}$，则存在一个光滑微分同胚 $\Phi: \bar X \to \bar X$ 将 $\sigma_1$ 变换为 $\sigma_2$。