Gauss map and Lyapunov exponents of interacting particles in a billiard

我们证明，来自高斯映射的勒贝格测度为零的周期轨道的李雅普诺夫指数可用于确定哈密顿系统李雅普诺夫指数的主要定性行为。该哈密顿系统是一个一维盒子，其中两个粒子通过汤川势相互作用，且不具有Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM)曲线。在我们的情形中，高斯映射应用于粒子间的质量比γ = m2/m1。除了主要定性行为外，平均李雅普诺夫指数在γ依赖关系中的一些意外峰值以及相空间中“粘性”的出现，也可以通过高斯映射的李雅普诺夫指数来理解。这很好地展示了数的连分数表示的“不稳定性”与物理模型中非周期曲线（无KAM曲线）稳定性之间的关系。我们的结果也证实了直觉：具有更复杂流不变曲面（更高亏格）的伪可积系统在扰动下应更不稳定。