多变量 Fuss-Catalan 数

Catalan 数 $C(n)=\frac{1}{n+1}{2n\choose n}$ 枚举了二叉树和 Dyck 路。关于路径因子数 $k$ 的分布由投票数 (ballot numbers) $B(n,k)=\frac{n-k}{n+k}{n+k\choose n}$ 给出。已知这些整数满足简单的递推关系，这可以在一个称为"Catalan 三角形"的下三角二维数组中可视化。令人惊讶的是，将此构造推广到三维会产生整数 $B_3(n,k,l)$，它们给出了 $C_3(n)=\frac 1 {2n+1} {3n\choose n}$ 的双参数分布，可称为 3 阶 Fuss-Catalan 数，并枚举三元树。本文旨在研究这些整数 $B_3(n,k,l)$。我们获得了显式公式以及基于树和路的描述。最后，我们将构造推广到 $p$ 维数组，在这种情况下，我们获得了 $C_p(n)=\frac 1 {(p-1)n+1} {pn\choose n}$ 的 $(p-1)$ 参数分布，即 $p$ 元树的数量。