Furstenberg-Sárközy 定理与模环中的渐近全遍历现象

Furstenberg-Sárközy 定理断言，具有正上密度的子集 $E \subset \mathbb{N}$ 的差集 $E-E$ 与任意满足 $P(0)=0$ 的多项式 $P \in \mathbb{Z}[n]$ 的像集相交。Furstenberg 的方法依赖于对应原理与 Poincaré 回归定理的多项式版本，后者源自如下遍历论结果：对任意保测系统 $(X,\mathcal{B},\mu,T)$ 及满足 $\mu(A) > 0$ 的集合 $A \in \mathcal{B}$，有 $c(A):= \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \mu(A \cap T^{-P(n)}A) > 0$。当 $T$ 为全遍历时，极限 $c(A)$ 取其最优值 $\mu(A)^2$。受新组合应用可能性的启发，我们在模环 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 中定义渐近全遍历的概念。我们证明模环序列 $\mathbb{Z}/N_m\mathbb{Z}$（$m \in \mathbb{N}$）渐近全遍历当且仅当 $\mathrm{lpf}(N_m)$（即 $N_m$ 的最小素因子）趋于无穷。由此事实，我们导出若干组合推论，例如如下结论。固定 $\delta \in (0,1]$ 与满足 $Q(\mathbb{Z}) \subseteq \mathbb{Z}$ 的（未必是相交的）多项式 $Q \in \mathbb{Q}[n]$，记 $S = \{ Q(n) : n \in \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\}$。对任意最小素因子 $\mathrm{lpf}(N)$ 足够大的整数 $N > 1$，若 $A$ 与 $B$ 是 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 的子集且满足 $|A||B| \geq \delta N^2$，则 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z} = A + B + S$。