信号检测的函数性重整: 维度分析与 nearly continuous 谱的维度相位转变有效场论

在高维空间中进行信号检测是数据科学中的关键挑战。虽然基于随机矩阵理论的标准方法为有限秩扰动（如已知的 Baik-Ben Arous-Péché (BBP) 相位转变）提供了精确的检测阈值，但这些方法常不足以应用于表现为 nearly continuous（广义秩）信号分布且与噪声_bulk 混合的真实数据。在这种情况下，通常与计算机视觉任务中的图像场景相关联，信号不表现为清晰的离群点，而是以谱密度几何形状的变形形式出现。我们采用函数性重整群 (FRG) 框架探讨这些细微的谱变形。将经验谱视为有效场论，我们定义一个随尺度变化的“规范维数”，其作为谱几何的一个敏感序参量。我们展示了该维数在信号信噪比显著低于标准 BBP 阈值处发生尖锐的横跨现象，解释为一种“维度相位转变”。这种维度不稳定性被证明与有效势中的自发对称性破缺以及特征向量统计与普适 Porter-Thomas 分布的偏离相关，从而验证了该方法的一致性。这种行为与最近关于“extensive spike model”的理论结果一致——即在任何谱间隙开启之前，信号信息仍然存在于噪声_bulk 中。我们在真实数据集上验证了该方法，表明 FRG 流程能够一致检测到这种 bulk 变形的起始。最后，我们针对 nearly continuous 谱的分析提出方法论化，提出一种信号检测的启发式准则以及一种基于这些规范维数稳定性的方法，用于估计独立噪声成分的数量。