从 Wigner-Yanase-Dyson 猜想至 Carlen-Frank-Lieb 猜想

本文研究迹函数 $$\Psi_{p,q,s}(A,B)=\text{Tr}(B^{\frac{q}{2}}K^*A^{p}KB^{\frac{q}{2}})^s,~~p,q,s\in \mathbb{R},$$ 的联合凸性/凹性，其中 $A$ 和 $B$ 为正定矩阵，$K$ 为任意固定的可逆矩阵。我们将给出使 $\Psi_{p,q,s}$ 对所有 $K$ 联合凸/凹的 $(p,q,s)\in\mathbb{R}^3$ 的完整范围。作为推论，我们确认了 Carlen、Frank 和 Lieb 的一个猜想。特别地，我们确认了 Audenaert 和 Datta 的一个较弱猜想，并得到了使 $\alpha$-$z$ R\'enyi 相对熵在完全正迹保持映射下单调的 $(\alpha,z)$ 的完整范围。我们也给出了许多已知结果的更简证明，包括由 Epstein 首次用复分析证明的当 $0<p<1$ 时 $\Psi_{p,0,1/p}$ 的凹性。关键是利用变分法将问题归约为迹函数 $$\Psi_{p,1-p,1}(A,B)=\text{Tr} K^*A^{p}KB^{1-p},~~-1\le p\le 1$$ 的联合凸性/凹性。