从投影重叠矩阵看上下语义

我们将若干已知的 Kochen--Specker 上下语义指示器——包括 KCBS 互相关因子 $\chi$、情境分数 $\CF$、Chaves 与 Fritz 的香农熵循环不等式，以及纸 I 中的操作性对易子 witness $D$——整合到一个投影几何框架中，以投影重叠矩阵 $\Tcal_{ij} = d^{-1}\tr[(\hat P_i \hat Q_j)^2]$ 为组织核心，其中 $\hat P_i$ 和 $\hat Q_j$ 为两个兼容可观测量对 within 测量情境中的联合特征子空间投影仪。该框架的状态独立标量内容由两个独立的收缩量承载：纸 I 中的互信息能量 $E = \sum_{ij}\Tcal_{ij}$（等价于其对数形式 $S_2 = -\log_2 E$），以及 Maassen--Uffink 极端重叠 $c_\MU = \max_{i,j}|\langle a_i,b_i | c_j,b_j\rangle|$。我们证明 $S_2$ 在粗化下单调不增，$S_2(\Gcal) > 0$ 是观测上下语义的必要配置条件，以及 $S_2(\Gcal) = \sum_\alpha S_2(\Gcal_\alpha)$ 对 KCBS 五边形的加法分解精确成立。进一步我们表明在 KCBS 五边形的自旋-$1$ 实现中，每个情境中共享的 $m_s=0$ 特征态导致 $c_\MU = 1$，使所有 Maassen--Uffink 类型界限均平凡——这一结构机制明确说明了为什么基于 $c_\MU$ 的结果熵不确定性关系对 KCBS 上下语义无效，而 $S_2 \approx 2.7266$~bit 持续有效。应用于 KCBS 和 CHSH，此框架识别出所有在此处考虑的状态依赖 witness 均无效却 $S_2(\Gcal) > 0$ 的区间，而该区间由投影几何决定。