从 Kraus 算子到量子映射的 Stinespring 形式：无穷维的一种替代构造

我们给出一个关于如下陈述的替代性（构造性）证明：对于每个完全正、保迹映射 $\Phi$，存在一个处于纯态 $|\psi\rangle\langle\psi|$ 的辅助希尔伯特空间 $\mathcal K$ 以及一个作用在系统加环境上的酉算子 $U$，使得 $\Phi$ 等于 $\operatorname{tr}_{\mathcal K}(U((\cdot)\otimes|\psi\rangle\langle\psi|)U^*)$。我们证明的主要工具是应用于定义在子空间上的等距算子的 Sz.-Nagy 膨胀定理。在我们的构造中，环境由一个维度为“$\Phi$ 的 Kraus 秩”的系统以及一个量子比特组成，后者仅充当催化剂。相比之下，Hellwig 和 Kraus 在 70 年代给出的原始证明产生了一个维度为“Kraus 秩加一”的辅助系统。最后，我们通过一个例子来说明这两种构造之间的差异。