从系数到分布：勒布朗与概率的运算视角

我们追溯了亚伯拉罕·德·莫尔 (Abraham de Moivre) 于 1733 年推导正态曲线的概念谱系，直至现代分布方法统计的端点。德·莫尔的《Binomial 项求和公式的近似》首次系统地推导了高斯密度，其正规化常数（由斯特林确定 $B = \sqrt{2\pi}$ 完成），以及计算到小数点后六位的尾部概率——在高斯之前超过七十年。他的方法——通过对概率律中的求和对指示探针进行评估来提取信息——可被识别为分布统计中所依赖的运算观点。我们识别出一个四阶段链条：系数提取（德·莫尔）$\to$ 生成函数（欧拉、拉普拉斯）$\to$ 特征函数（傅里叶、列维）$\to$ 分布配对 $\langle T, \varphi \rangle$（施瓦茨）。在每个阶段，探针变得更灵活，能够研究的律的类别也更广泛。分布框架——其中概率律由分布-内核对 $(T, \varphi) \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}) \times \mathcal{S}(\mathbb{R})$ 表示——是这一进展的自然终点。我们提出并证明了德·莫尔-拉普拉斯定理的分布版本：标准化的二项分布在 $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ 中收敛于高斯分布，德·莫尔的原始计算对应于指示测试函数的特殊情况。我们还讨论了横截面框架，它为为什么诸如矩不可辨识、非可辨识性和奇异费舍尔信息等路径病态在参数统计模型中极少遇到的几何解释——通过退化层的无穷维数。