基于多核与完备字典的频率分析

在信号分析中，为寻求将信号高效表示为具意义频率之基元，依次逐个或一次 $n$ 个提取主频率分量是一项基础策略。为此，我们定义平均频率概念，并借助完备 Szeg\"o 核字典发展相关频率分解；该字典由多核构成，定义为 Szeg\"o 核的参数导数。我们分析并比较了几种主要能量匹配追踪型稀疏表示，包括贪婪算法（GA）、正交贪婪算法（OGA）、自适应傅里叶分解（AFD）、预正交自适应傅里叶分解（POAFD）、$n$ 最佳逼近与展开 Blaschke 分解。基于对各算法余项的具体研究，给出了所述算法在重建效率上的一种次序。本研究阐明了多核与相关 Laguerre 系统间的自然联系，并特别表明二者皆如傅里叶级数一般，从阶为 $\sigma >0$ 的 Hardy-Sobolev 空间函数中提取出 $O(n^{-\sigma})$ 阶收敛速率。我们证明了完备 Szeg\"o 字典下 $n$ 最佳逼近的存在性，并讨论了相关算法方面。所含实验构成研究的重要集成部分，因其不仅阐释理论结果，还提供了匹配追踪算法与所用字典间各种组合方式的交叉比较。实验表明完备字典显著提升了逼近效率。