自由概率、路径发展与签名核作为通用缩放极限
概率论
2024-02-20 v1 谱理论
摘要
将路径随机发展到矩阵李群 中最近被用于构建路径空间上的基于签名的核。两个例子包括发展到 GL 和 ，即维度为 的一般线性群和酉群。对于前者，[MLS23] 表明签名核是通过具有高斯向量场的发展的缩放极限获得的。第二个实例在 [LLN23] 中被用于构建路径空间上概率测度之间的度量。我们提出了一种统一的处理方法，利用自由概率论的工具来获得大 极限。一个重要结论是，极限核虽然依赖于李群的选择，但相对于发展映射的随机化方式而言，它们是通用极限。对于酉发展，极限核由签名与自由独立半圆随机变量的单项式的收缩给出。利用 Schwinger-Dyson 方程，我们表明该核可以通过求解一个新的二次泛函方程获得。我们为该方程提供了一个收敛的数值格式及其收敛速率，且不需要计算签名本身。
引用
@article{arxiv.2402.12311,
title = {Free probability, path developments and signature kernels as universal scaling limits},
author = {Thomas Cass and William F. Turner},
journal= {arXiv preprint arXiv:2402.12311},
year = {2024}
}