具有谱隙的随机正矩阵模型中的自由能与涨落

我们研究 Coulomb 气体配分函数的大 $n$ 展开 $$Z_n=\frac 1 {\pi^n}\int_{\mathbb{C}^n}\prod_{1\le i<j\le n}|z_i-z_j|^2\prod_{i=1}^n e^{-nQ(z_i)}\, d^2 z_i,$$ 其中 $Q$ 是复平面 $\mathbb{C}$ 上的径向对称约束势。不假定液滴是连通的，它可由若干互不连通的环形连通区域及可能的一个中心圆盘组成。边界条件为“软边缘”，即 $Q$ 在液滴的 $\mathbb{C}$ 邻域内是光滑的。我们包含以下可能性： 存在“前哨点”，即位于液滴外部的重合集分量； 原点处存在锥形（或 Fisher-Hartwig）奇点； 扰动 $Q-\frac h n$，其中 $h$ 是光滑的径向对称测试函数。在每种情况下，自由能 $\log Z_n$ 具有以下形式的大 $n$ 展开 \begin{equation*}\log Z_n=C_1n^2+C_2n\log n+C_3 n+C_4\log n+C_5+\mathcal{G}_{n}+o(1)\end{equation*} 其中 $C_1,\ldots,C_5$ 是特定的几何泛函。依赖于 $n$ 的项 $\mathcal{G}_n$ 在 $n\to\infty$ 时有界；它因谱隙的存在而产生。我们利用自由能展开来研究线性统计量涨落的分布。我们证明，涨落可由一个高斯分布与若干提供粒子从一个分量到另一个分量位移的独立项之和很好地近似。该位移依赖于 $n$，并用 Heine 分布表示。我们还证明（在适当假设下），落在谱前哨点附近的粒子数收敛于 Heine 分布。