带框 M-膜、角点与拓扑不变量

我们揭示并强调了 M 理论中的 M-膜与各种拓扑不变量之间的关系：$\mathbb{Q}$、$\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}_2$ 上的 Hopf 不变量、Kervaire 不变量、$f$-不变量以及 $\nu$-不变量。这需要 framing 或角点结构。规范 framing 提供了经典作用量的最小值，而 framing 的变化编码了作用量的结构和可能的反常。我们通过 Hopf 不变量刻画了 C-场的通量量子化条件和 M5-膜的拓扑作用量，并将 C-场的对偶描述为 Hopf 不变量为二的元素（或其精细化）。在签名形式体系中，对角点处 M-膜有效作用量的贡献由 Maslov 指数给出。Kervaire 不变量意味着 M5-膜的有效作用量是二次的。我们的研究促使我们将自对偶弦（即 M5-膜世界体上 M2-膜的边界）视为带角点流形配边意义下的弦论。我们表明，C-场及其对偶的动力学以统一的方式编码在 4-球面中，这表明相应的谱是描述这些场的广义上同调理论。角点的有效作用量由 $f$-不变量捕捉，这是一个色阶为二的不变量。最后，考虑在具有 $G_2$ 和乐群的流形上的 M 理论，我们证明了规范 ${\rm G}_2$ 结构最小化了 M5-膜作用量的拓扑部分。这是通过 $\nu$-不变量以及我们引入的一个与单圈多项式相关的变体完成的。