偏微分方程神经算子的框架不变性与可扩展性
机器学习
2022-09-07 v1
摘要
偏微分方程（PDEs）在许多复杂动力过程的数学建模中占主导地位。求解这些 PDE 往往需要支付极高的计算代价，尤其在需针对不同参数或条件进行多次求解时。神经算子在训练后能够提供比传统 PDE 求解器显著更快的 PDE 解。本文中，我们考察了两种神经算子对标量量输运 PDE 的不变性性质与计算复杂度。基于图核网络（GKN）的神经算子作用于图结构数据以纳入非局部依赖。此处我们提出一种改进的 GKN 表述以实现框架不变性。向量云神经网络（VCNN）是一种嵌入框架不变性的替代神经算子，作用于点云数据。基于 GKN 的神经算子展现出略优于 VCNN 的预测性能。然而，与 VCNN 的线性增长相比，GKN 所需计算代价过高，且随离散对象数量增加呈二次增长。
引用
@article{arxiv.2112.14769,
title = {Frame invariance and scalability of neural operators for partial differential equations},
author = {Muhammad I. Zafar and Jiequn Han and Xu-Hui Zhou and Heng Xiao},
journal= {arXiv preprint arXiv:2112.14769},
year = {2022}
}