分数阶 Voigt 正则化下的三维 Navier--Stokes 与 Euler 方程：全局适定性与极限行为

Voigt 正则化是一种用于模拟湍流的技术，具有与 Navier-Stokes 方程共享稳态、无需修改边界条件等优点；然而，该方程的抛物型耗散特性会丧失。在本工作中，我们通过引入 Helmholtz 算子的分数阶幂 $r$，提出并研究了 Voigt 正则化技术的一种推广，使得系统至少在粘性情况下具有耗散性。我们研究了由此得到的分数阶 Navier-Stokes-Voigt (fNSV) 和分数阶 Euler-Voigt (fEV) 方程，并证明在三维周期情形下，当分数阶幂 $r \geq \frac{1}{2}$ 时 fNSV 全局适定，当 $r > \frac{5}{6}$ 时 fEV 全局适定。此外，我们证明了这些分数阶 Voigt 正则化系统的解在正则化参数 $\alpha \to 0$ 时收敛于原方程在对应存在唯一性时间区间上的解。我们还证明了当粘性 $\nu \to 0$ 时 fNSV 解收敛于 fEV 解，以及当 $\alpha, \nu \to 0$ 时 fNSV 解收敛于三维 Euler 方程的解。进一步地，我们基于该正则化方法为每个系统推导了有限时间爆破的判据。这些结果可能对纯与应用流体动力学研究者有用，特别是在湍流近似模型和探究解的潜在爆破方面。