图的不交并与笛卡尔积上的愚人单人跳棋

跳棋游戏由 Beeler 和 Hoilman 推广至连通图。在该游戏中，除一个顶点外所有顶点均放置棋子。若 $xyz$ 构成一条 3 顶点路径，且 $x$ 和 $y$ 处有棋子而 $z$ 处无棋子，则可移除 $x$ 和 $y$ 处的棋子并在 $z$ 处放置一枚棋子。类比于原始游戏中的移动，这被称为跳跃。图上跳棋游戏的目标是寻找能将图上棋子数量减少至 1 的跳跃序列。Beeler 和 Rodriguez 提出了一种变体，其目标改为在无法进行更多跳跃时最大化剩余棋子数量。对所有单个空穴的初始位置取最大值，图 $G$ 在无跳跃可进行时剩余的最大棋子数即为愚人单人跳棋数 $F(G)$。我们确定了任意图 $G$ 和 $H$ 的不交并的愚人单人跳棋数。对于笛卡尔积，当 $k \ge 3$ 且 $G$ 连通时，我们确定了 $F(G \Box K_k)$，并说明了为何我们的论证在 $k=2$ 时失效。最后，我们给出了图 $G$ 和 $H$ 满足 $F(G \Box H) \ge F(G) F(H)$ 的条件。