Gromov-Prohorov 样本模型的涨落

本文研究度量测度空间的观测量的涨落，这些度量测度空间是固定任意（完备、可分）度量测度空间 $X=(\mathcal{X},d,\mu)$ 的随机离散逼近 $X_n$。这些观测量 $\Phi(X_n)$ 在 Greven-Pfaffelhuber-Winter 意义下是多项式，我们证明对于一般的模型空间 $X$，它们给出渐近正态的随机变量。然而，若 $X$ 是紧齐性空间，则观测量的涨落要小得多，并在适当重标度后收敛于非高斯的概率分布。反之，我们证明若所有观测量 $\Phi(X_n)$ 的涨落都小于一般情形，则该度量测度空间 $X$ 是紧齐性的。这些结果的证明依赖于 Gromov 重构原理，以及 Féray-Méliot-Nikeghbali 所发展的累积量与模高斯收敛方法的适应性改造。