关于 Sherrington--Kirkpatrick 自旋玻璃模型在临界温度附近的波动

我们考虑以零外场为条件、反温度 $\beta>0$ 的 Sherrington--Kirkpatrick 自旋玻璃模型。设 $F_N(\beta)$ 为相应的对数分配函数。在假设 $c_N:=N^{1/3}(1-\beta_N^2)$ 远离 0 的情况下，我们证明 Var$(F_N(\beta_N)) = - \frac{1}{2} \log (1-\beta_N^2) -{\beta_N^2}/{2} + O( c_N^{-3/2}).$ 因此，我们得到 Var$(F_N(1-c N^{-1/3})) = \frac16\log N + O(1)$ 对任意固定常数 $c\in(0,\infty)$。我们还证明了对中心化并缩放后的 $F_N(\beta_N)$ 的高斯中心极限定理。