树上的火灾

我们考虑均匀凯莱树（具有 $n$ 个顶点）边上的一种随机动力学过程，其中边要么是可燃的、防火的，要么是烧毁的。每条可燃边以单位速率被替换为防火边，同时火灾以较小的速率 $n^{-\alpha}$ 在每条可燃边上开始，然后通过相邻的可燃边传播，并仅在防火边处停止。当一个顶点的所有邻接边都是防火边时，该顶点被称为防火顶点。我们证明，当 $n\to \infty$ 时，防火顶点的密度在 $\alpha>1/2$ 时收敛到 $1$，在 $\alpha<1/2$ 时收敛到 $0$，在 $\alpha=1/2$ 时收敛到某个非退化随机变量。我们进一步研究了防火森林的连通性，特别是巨型分支的存在性。