薛定谔方程临界性的有限尺寸标度

通过求解薛定谔方程，可以得到整个能谱，包括束缚态和连续态。如果哈密顿量依赖于一个参数集，则可以调节这些参数以实现从束缚态到连续态的转变。系统在将束缚态与连续态分开的阈值附近的行为，对于研究诸如原子和分子的电离、分子解离、散射碰撞以及物质稳定性等现象非常重要。通常，能量作为哈密顿量参数的函数是非解析的，或者在阈值能量处不存在束缚态。本章的总体目标是展示如何使用大维模型和有限尺寸标度方法来预测、生成和识别新类别的稳定量子系统。在这种方法中，有限尺寸对应的不是空间维度，而是用于展开给定哈密顿量精确本征函数的完备基组中的元素数目。该方法在估计给定哈密顿量 $H(\lambda_i)$ 稳定性的临界参数 $\{\lambda_i\}$ 时高效且非常准确。我们提出了针对给定量子哈密顿量使用有限尺寸标度获取临界参数的两种方法：有限元法和基组展开法。